Onderstaand worden verschillende methoden besproken voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen met hoogstens drie onbekenden. Ten eerste wordt de gelijkstellingsmethode besproken en daarna de substitutie -en combinatiemethode. In de videoles bekijken we ook hoe we aan de hand van een matrix het stelsel kunnen oplossen. Dit wordt meestal gebruikt bij stelsels die meer dan 2 onbekenden bevatten. Hiervoor gebruiken we de methode van Gauss die ook beter bekend staat als de spilmethode.
Gelijkstellingsmethode
\begin{matrix}
-x &-y &= 33 \\
-y & +7x &= 45
\end{matrix}
We zetten één van de veranderlijken in beide vergelijkingen apart:
\begin{matrix}
-x &-33 &= y \\
7x & -45 &= y
\end{matrix}
We stellen de twee vergelijkingen aan elkaar gelijk:
\begin{matrix}
-x -33 &=& 7x -45 \\
&\Updownarrow&\\
-33 +45 &=& 7x + x \\
&\Updownarrow&\\
12 &=& 8x \\
&\Updownarrow&\\
x &=& \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \\
\end{matrix}
We berekenen y door x terug in te vullen in één van bovenstaande vergelijkingen:
\begin{matrix}
y &=& 7x -45\\
&\Updownarrow&\\
y &=& 7 \cdot \frac{3}{2} – 45 \\
&\Updownarrow&\\
y &=& \frac{21}{2}-\frac{90}{2} \\
&\Updownarrow&\\
y &=& -\frac{69}{2}\\
\end{matrix}
Substitutiemethode
\begin{matrix}
-x &-y &= 33 \\
-y & +7x &= 45
\end{matrix}
We zetten één van de veranderlijken in één vergelijking apart:
\begin{matrix}
-x &-33 &= y \\
-y & +7x &= 45
\end{matrix}
We vullen de ene vergelijking in in de andere vergelijking:
\begin{matrix}
x +33 & +7x &= 45 \\
&\Updownarrow&\\
7x + x &=& 45 – 33 \\
&\Updownarrow&\\
8x &=& 12 \\
&\Updownarrow&\\
x &=& \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \\
\end{matrix}
We vullen x terug in, in de vergelijking van y en berekenen y:
\begin{matrix}
-x -33 = y \\
y = -\frac{3}{2}-33 = -\frac{3}{2}-\frac{66}{2} = -\frac{69}{2}
\end{matrix}
Combinatiemethode
\begin{matrix}
-x &-y &= 33 \\
-y & +7x &= 45
\end{matrix}
We doen de bovenste vergelijking maal -1 zodat de coëfficiënten van y tegengesteld zijn:
\begin{matrix}
x &+ y &= -33 \\
7x & -y &= 45
\end{matrix}
We tellen de onderste en bovenste vergelijking met elkaar op:
\begin{matrix}
x + 7x + y + -y &=& -33 + 45 \\
&\Updownarrow&\\
8x &=& 12 \\
&\Updownarrow&\\
x &=& \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \\
\end{matrix}
We berekenen y door x terug in te vullen in één van bovenstaande vergelijkingen:
\begin{matrix}
y &=& 7x -45\\
&\Updownarrow&\\
y &=& 7 \cdot \frac{3}{2} – 45 \\
&\Updownarrow&\\
y &=& \frac{21}{2}-\frac{90}{2} \\
&\Updownarrow&\\
y &=& -\frac{69}{2}\\
\end{matrix}