Cirkelsector en cirkelsegment

De totale oppervlakte van de cirkel is \( \pi r^2 \). De oppervlakte van de sector kan bekomen worden door de oppervlakte van de cirkel te vermenigvuldigen met de verhouding van de hoek en \(2 \pi\). Dit komt omdat de oppervlakte van de sector proportioneel is met de hoek en \( 2 \pi\) de hoek is van de totale cirkel.

cirkelsector

\begin{eqnarray*}
A =\pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{2 \pi} =\frac{R^2 \alpha}{2}
\end{eqnarray*}

De oppervlakte van een cirkelsegment is gelijk aan de oppervlakte van de cirkelsector min de oppervlakte van de driehoek.

cirkelsegment

Oppervlakte van de driehoek:

\begin{eqnarray*}
A = \frac{b \cdot h}{2}
\end{eqnarray*}
We delen de driehoek op in twee gelijke delen door de hoogtelijn te trekken OM. Dan is de middelpuntshoek gelijk aan \(\alpha/2\). Nu kunnen we de afstand AM berekenen door middel van de sinus:

\begin{eqnarray*}
sin(\alpha/2) &=& \frac{AM}{R} \\
&\Updownarrow&\\
AM &=& sin(\alpha/2) \cdot R
\end{eqnarray*}

De basis is gelijk aan 2 keer AM dus:
\begin{eqnarray*}
b = 2 \cdot AM = 2 \cdot sin(\alpha/2) \cdot R
\end{eqnarray*}

Nu berekenen we de hoogte. Dit komt overeen met de afstand OM. Dit kunnen we berekenen aan de hand van de cosinus:
\begin{eqnarray*}
cos(\alpha/2) &=& \frac{OM}{R} \\
&\Updownarrow&\\
OM &=& cos(\alpha/2) \cdot R
\end{eqnarray*}

De hoogte is gelijk aan:
\begin{eqnarray*}
h = cos(\alpha/2) \cdot R
\end{eqnarray*}

Nu vullen we de formule voor de oppervlakte van een driehoek terug in:
\begin{eqnarray*}
A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{2 \cdot sin(\alpha/2) \cdot R \cdot cos(\alpha/2) \cdot R}{2}
\end{eqnarray*}

Nu passen we de dubbele hoek formule nog toe:
\begin{eqnarray*}
sin( \alpha) = 2 sin(\alpha/2) \cdot cos (\alpha/2)
\end{eqnarray*}

De oppervlakte van de driehoek kan dus als volgt geschreven worden:
\begin{eqnarray*}
A = \frac{2 \cdot sin(\alpha/2) \cdot R \cdot cos(\alpha/2) \cdot R}{2} = \frac{R^2 sin(\alpha)}{2}
\end{eqnarray*}

Dus de totale oppervlakte kan als volgt geschreven worden:

\begin{eqnarray*}
A = \frac{R^2}{2} ({\alpha}-\sin \alpha)
\end{eqnarray*}